Главное меню  

   

Авторизация  

   
   
Хостинг в Украине
   


62.3%Russian Federation Russian Federation
17.4%Ukraine Ukraine
3.2%Kazakhstan Kazakhstan
3%Romania Romania
2.6%United States United States
1.7%Belarus Belarus
1.1%Republic Of Moldova Republic Of Moldova
1%Czech Republic Czech Republic
0.9%United Kingdom United Kingdom
0.7%France France

Сегодня: 42
Вчера: 101
На прошлой неделе: 947
В этом месяце: 3197
В прошлом месяце: 2591
Всего: 7785


   

блог админа

Записи

  • Главная
    Главная Страница отображения всех блогов сайта
  • Категории
    Категории Страница отображения списка категорий системы блогов сайта.

Урок №32 Двоичная система счисления

Добавлено : Дата: в разделе: 9 класс

Основные темы параграфа:

♦ десятичная и двоичная системы счисления; 
♦ развернутая форма записи числа; 
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему; 
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему; 
♦ арифметика двоичных чисел.

В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере. Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.

Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.

Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.

Десятичная и двоичная системы счисления

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.

нас будут интересовать двоичная и десятичная системы счисления.

Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. Если число цифр — десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину. Оказывается, можно!

Развернутая форма записи числа

Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая — три десятка, следующая — три сотни. Этот факт можно выразить равенством:

33310 = 3 · 102 + 3 · 101 + 3 · 100 = 300 + 30 + 3.

В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:

825710 = 8 · 103 + 2 · 102 + 5 · 101 + 7 · 10= 8000 + 200 + 50 + 7.

Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

А вот пример многозначного двоичного числа:

1101012.

Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:

1101012 = 1 · 2+ 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5310.

Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.

Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.

102 = 21 = 2;      100= 22 = 4;      10002 = 23 = 8;
100002 = 24 = 16;    1000002 = 25 = 32  и т. д.

Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.

Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) системах счисления: 

A10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A2 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
A10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A2 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100

Перевод десятичных чисел в двоичную систему

Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:

1510 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11112.

Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.

Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток — это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.

Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную систему.

Informatika 9 102z

Здесь а5, а4, а3, а2, а1, а0 — обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате перевода получим: 3710 = 1001012

Арифметика двоичных чисел

Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.

0 + 0 = 0                      0 x 0 = 0
0 + 1 = 1                      0 x 1 = 0
1 + 0 = 1                      1 x 0 = 0 
1 + 1 = 10                    1 x 1 = 1

Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.

Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

  1011011101
  +111010110
10010110011

А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

      1101101
    x        101
      1101101
  1101101
1000100001

После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.

Коротко о главном

Система счисления — определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.

Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.

Двоичные числа — числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа — это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.

Редактировалось Дата:

You have no rights to post comments

   
© 2012 fordus.